用 VCO 型 ADC 监测电源纹波：把 PDN 自谐振写进非理想因素模型，并让 FFT 与闭式理论逐 bin 精确对齐

片上电源噪声（Power-Supply Noise, PSN）监测是近年最热的"传感 + ADC"课题之一，而 VCO 型 ADC（Voltage-Controlled-Oscillator-based ADC）因为"全数字、无运放、天然一阶噪声整形、低频噪声极低"成了热门候选。但把它真正用到电源纹波监测场景时，有两个东西必须一起建模才敢下结论：(1) 被测量不是理想正弦，而是 PDN 节点上被 塑形、并在自谐振 处被 放大的纹波谐波族；(2) VCO 型 ADC 的非理想因素（量化、调谐非线性、延迟单元失配、时钟抖动、VCO 相位噪声、DFF 亚稳态）在频域的表现方式各不相同——有的被整形、有的不被整形、有的恰好落在你想看的那个峰上。 本文以一篇经典分析设计论文（J. Kim et al., Analysis and Design of VCO-Based ADC, IEEE TCAS-I, 2010，下称"论文"）的公式体系为骨架，把上述六类非理想因素 + PDN 的 RLC 谐振完整建模，并给出 Python/MATLAB 双实现。核心指标：19 项确定性检查中，仿真 FFT 的每个 bin 与闭式理论的相对误差最大 7.7×10⁻¹¹，全部达到机器精度——也就是"频谱结果和理论计算完全数值精确对应"。目标同样是"只看这一篇就能自己搭一套可对账的模型"。

目录

• 0. 结论速览
• 1. 为什么 VCO 型 ADC 适合做纹波监测
• 2. 信号链：从电压到计数
• 3. PDN 侧建模：自谐振、Q、纹波谐波、探头负载、热噪声
• 4. 六类非理想因素（机理 → 公式 → 实现 → 验证 → 坑）
• 5. 全模型与灵敏度
• 6. 让"频谱 = 理论"的六条工程准则 + 验证表
• 7. 论文勘误与三处口径陷阱
• 8. Trade-off 汇总
• 9. 复现
• 10. 参考

0. 结论速览

先把要带走的结论列出来，后面逐条给推导与数据。

1. 相位量化即一阶整形。 VCO 型 ADC 的输出是"相位除以 后取整再差分"，残留相位天然在相邻采样间传递，于是量化噪声被 高通整形： 时噪声趋零。这正是 PSN 监测最需要的特性（低频纹波干净）。实测本组参数下 SQNR（论文 eq.7） dB，等效分辨率 5.68 bit。
2. PDN 自谐振必须显式建模。 开关电流的 次谐波 乘以 才是纹波电压； 在 处等于 并被 放大。示例 pH、 nF、： MHz、。谐振既放大纹波（好），也放大落在同处的杂散与噪声（坏）——灵敏度不是单调受益。
3. 六类非理想因素的频域"形状"完全不同：量化噪声（整形、 上升）、调谐非线性（HD2/HD3 且被 加权， 处为零点）、延迟单元失配（ 的 Bessel spur 族，同样被整形）、时钟抖动（噪声搬移到 附近成裙边）、VCO 相位噪声（先混叠再整形）、DFF 亚稳态（近似白噪声，是本组参数下的绝对瓶颈）。
4. 要"逐 bin 精确对应"，靠的是三件事：闭式解析积分（ 余弦乘积）、绝对相位 + floor 记账、以及所有频率取整数 bin 的相干采样。三者缺一，误差就从 掉到 量级。
5. 论文有三处需要注意的地方（eq.3 缺 ；eq.27/33 是双边功率；eq.37/41 的亚稳态上界与 59.04 dB 示例不自洽），详见 §7。

1. 为什么 VCO 型 ADC 适合做纹波监测

片上 PSN 监测对 ADC 的要求很苛刻：带宽要覆盖到几十~几百 MHz（要看到 PDN 的自谐振与开关谐波）、供电电压低（先进工艺 0.8 V 甚至更低）、面积与功耗小（要铺很多个监测点）、低频要极其干净（纹波的直流/低频分量往往是主要能量）。传统 SAR/流水线 ADC 在这些约束下吃紧，而 VCO 型 ADC 的结构恰好对口：

• 全数字、无运放、无采样保持：输入直接调谐 VCO 频率，信息承载在"相位/频率"上，后级全是数字计数器与差分器，随工艺缩放友好。
• 一阶噪声整形：量化噪声在低频被强烈压制（这里的关键，见 §2）。
• 对 PVT 的敏感性可标定：VCO 的增益 、自由振荡频率 会漂，但都可以通过数字校准或参考通道消除。

代价同样明确，也正是本文要建模的对象：

2. 信号链：从电压到计数

2.1 连续时间部分（论文 eq.1–4）

VCO 的自由振荡频率 被输入 线性调谐，相位是频率的积分，计数器把相位按 量化：

其中 是 VCO 的相数（本文 64 相， rad）。输入为单音 时，每个采样窗 内的相位增量有闭式解：

这一条是整篇文章的"锚"：它给出了"输入电压幅度 → 输出计数幅度"的全部转换关系。本组参数（ GHz/V、 V、 ns、 MHz）下

也就是说：每 1 mV 输入只换来 0.256 个计数——这个"计数/毫伏"的换算系数（，本文 counts/V）决定了后面所有灵敏度数字。实现上我用的是闭式解析积分而不是数值积分，这就是"逐 bin 精确"的第一块基石：

def int_product_cos(t0, t1, freqs, phs):
    """∫cos(2πf_i t+φ_i) 连乘 dt 的闭式解：展成 2^m 个复指数逐项积分"""
    total = 0.0 + 0.0j
    for s in range(1 << len(freqs)):          # 每个 cos 取 +/− 号
        Om = sum(±2πf_i);  Th = sum(±φ_i)
        e  = exp(1j·Th)
        total += e * ((exp(1j·Om·t1) − exp(1j·Om·t0))/(1j·Om) if |Om|>ε else (t1−t0))
    return total.real

2.2 量化噪声为什么天然被整形

把复位计数器的输出写成理想值与误差之和：，其中 是残留相位。差分输出

于是量化误差的功率谱被乘上 ： 时为零，（即 ）时为 4 倍。带内量化噪声（论文 eq.6）为

2.3 三个容易被忽略的物理前提（都实测过）

(a) 量化误差真的"像白噪声"吗？ 论文 eq.5/6 的推导前提是 近似独立均匀分布。实测本组参数：均值 （理想 ✓）、方差 （理想 ，差 0.9%）、滞后 1 自相关 （≈0 ✓）。前提成立，可以放心用 eq.6。

(b) "无采样保持"意味着谐波也被 sinc 加权。 因为 VCO 在整个采样窗内都在积分输入，等效于"窗内平均"，所以第 次谐波幅度正比于 ，在 处出现零点（图 4 右）。别只在时域算 ：非线性产生的谐波同样要乘这个 sinc。

(c) 相干采样是"逐 bin 对账"的硬前提。 本文把所有频率都取成 的整数倍（、、、）。一旦某个频率落在 bin 之间，FFT 就会泄漏，任何"逐 bin 相等"的比较都失去意义。改参数时请守住这一条。

3. PDN 侧建模：自谐振、Q、纹波谐波、探头负载、热噪声

3.1 一阶模型：并联 RLC

把一个 PDN 节点在关心频段内简化成并联 （：封装/走线电感，：去耦电容，：等效阻尼），则

本文示例 pH、 nF、： MHz、、（数值上 精确成立，误差 0，这是并联 RLC 的解析性质，也是模型自检的第一项）。

3.2 纹波怎么进模型

开关电源的负载电流是周期性的，其 次谐波电流 在 PDN 上产生的电压

这些 就是注入 VCO 型 ADC 的"多音输入"。 mA、 MHz、取前 8 次谐波时：

关键点：纹波频谱是被 塑形的，不是平的。 靠近 的谐波（第 6、7 次）比第 1 次高 30 倍（29.5 dB）。这既是"能看见谐振"的原因，也意味着监测器必须在 附近同时具备幅度精度。

3.3 探头负载与热噪声

• 探头/前端输入电容：它直接并在被测节点上，把 变大、 拉低：。这是"测量改变被测对象"的经典问题： 越高（片上节点、 越小），探头电容越致命；用高阻有源探头（皮法级）或把前端做进片内是常见对策。
• PDN 自身热噪声： 的热噪声电压密度 pV/（），在 250 MHz 带内积分只有 V rms，远低于前端自身的量化/亚稳态噪声。在本文参数下可以忽略——但如果 PDN 用的是高 高 的谐振结构，这个结论要重新算。

3.4 "谐振落在监测带内"意味着什么

这是把 PDN 与 ADC 连起来最容易被忽略的耦合： 处 最大 → 纹波峰最大（好），但同一个 也把该频段的热噪声、以及后级所有高频噪声"感受"得更强；更要命的是，如果 （失配 spur 族中心）或 与 重合，杂散会被 PDN 从输入端"盖章"进去，看起来就像真实的纹波分量。工程做法：把 VCO 的 与 设成非整数比，让 spur 族分散开（代价是不能逐 bin 对账，仿真验证与芯片实测要分开做）。

4. 六类非理想因素（机理 → 公式 → 实现 → 验证 → 坑）

本节所有"验证"数字都来自与 MATLAB 实现 1:1 等价的 Python 参考实现（run_verify.py，19 项检查，最大相对误差 7.7×10⁻¹¹，0 项失败）。

4.1 相位量化噪声（eq.5–8）

机理/公式：见 §2.2。带内 ；闭环 SQNR（eq.7）在本文参数下 81.74 dB，等效位数 bit。

实现要点：必须走"绝对相位 → floor → 差分"，而不是"逐窗增量累加"。前者让残留相位 自然跨拍传递（整形成立），后者会把量化误差变成每拍独立的白噪声（整形消失）。

验证：eq.(7) 与 eq.(5)/(6) 的功率比一致到 2.2×10⁻⁵；离散精确求和 vs eq.(6) 连续积分差 1.55%；32~96 次集平均与离散理论在统计涨落内一致。

坑：① 拿单次实现的多音频谱去比理论底噪会差 20~60 倍（fractional-N 杂散谱线是离散的，请看图 3 的说明）；② 定义要与带宽口径一致（本文 ， MHz）。

4.2 VCO 调谐非线性（eq.26/27）

机理：。 产生 、 产生 ，并且因为无采样保持，每个谐波都要乘上的 sinc 窗内平均因子。

（单边幅度，单位 counts）三次项同时压缩基波：。

验证： GHz/V²、 GHz/V³、 V 时 counts（−42.5 dBc）、 counts（−46.1 dBc），与实现逐 bin 一致到 / ；基波压缩后 25.967 counts，与修正公式一致到 。

坑：非线性项不能只在时域写 然后问"为什么频谱对不上"——窗内积分必须做，否则在 接近 时误差可达 20 dB 以上。此外若同时存在多个纹波谐波，非线性会产生大量交调项，这些交调项与真实的纹波谐波落在同一频率栅格上（因为 的谐波就是 的整数倍），会与真实分量矢量相加，造成"幅度对不上"。要做严格对账，就用单音激励（本文的做法）。

4.3 延迟单元失配 → Bessel spur 族（eq.28–33）

机理： 相 VCO 的延迟单元之间总有失配，等效为相位误差

因为 本身含被调制的频率， 经 Jacobi–Anger 展开后变成以 为中心、间隔 的一族谱线：

注意两点：① spur 幅度含 ——失配误差是作为"残留相位"注入的，因此同样被一阶整形（低频被压）；② 可以很大（本文 rad），此时 在 附近才有显著值，spur 族会拖出很远。

验证：3% 失配（）时 的 spur 分别为 、、、 counts（−105/−82.6/−107/−79.2 dBc），与闭式 eq.(33) 一致到 （这是全表最大的那一项，仍是机器精度）。

坑（很重要）：

• 失配必须作为残留相位差分注入（），不能直接加到输出计数上，否则整形特性丢失。
• 经相位量化器后，同一条 spur 会从 变成 counts——因为 floor 交叉事件本身就是量化噪声，会把深达 −105 dBc 的谱线淹掉。所以想验证 Bessel 公式，必须走"未量化"的精确路径；这本身就是一条建模经验：先在没有量化器的情况下把模拟域的公式验证干净，再谈量化后的系统指标。

4.4 采样时钟抖动（eq.9–19）

机理：抖动通过两条路径进入。(a) 采样不确定（SU）：采样时刻偏移 使相位误差 （正比于输入导数）；(b) 积分时间（IT）：窗长变成 ，使积分误差 被积函数本身。合成后

验证：① 确定性抖动 ps MHz 产生 边带，精确积分仿真的边带幅度与 eq.(11)(12) 线性化模型一致到 （残余是 的二阶项）；② 标度律验证： 时二阶残差精确降为 1/4，证明误差确为 （这比单点比对更有说服力）；③ 随机抖动 ps：蒙特卡洛 64 次全带 SNR dB，闭式 eq.(15)+(18) 给 56.900 dB，差 0.024 dB。

坑（两条，都踩过）：

1. 口径：论文 eq.(16)/(19) 是"总误差功率"口径（全带）。本文同一仿真全带 56.9 dB、带内 104.7 dB。拿带内数字去对论文公式，会以为模型错了。
2. 漏乘输入幅度：IT 抖动路径的误差 ，写成代码时极易丢掉 中的 ，结果误差正好差 10 倍（）。这类"量纲/因子"错误是建模里最常见的假 bug。

4.5 VCO 相位噪声（eq.20–25）

机理：VCO 自身相位噪声 先被采样混叠（ 折叠求和），再被差分整形：

验证：取 dBc/Hz 的 包络（10 kHz 极点），带内 rad（必须 rad，否则量化器会被"推着走"，出现爬坡/饱和），整形后的噪声包络与理论线逐 bin 一致到 。

坑：混叠求和必须做（本文取 次折叠），否则高频段会差 3 dB 甚至更多；另外要检查带内 这个"线性区"前提。

4.6 DFF 亚稳态（eq.36–41）——本组参数下的瓶颈

机理：锁存器的亚稳态窗口 内可能锁到错误相位，等效为每拍的计数误差。论文给出上界

数字： ps、 ns（输入正峰处的最短 VCO 周期）→ → （最坏情况），，闭式 SNR(eq.41) dB。蒙特卡洛仿真给 38.83 dB，与闭式一致。

坑（★ 最需要注意的是这个）： 公式里的 把亚稳态窗口量化到整数个 VCO 半周期，所以只要 ，本组参数下就得到 ——即每拍可能错最多一整个 VCO 周期（ rad 全量程）。若按这个上界注入，其整形后噪声会超过百毫伏级的纹波信号（本文实测：全模型 SNR 直接变成负值），说明该配置不可用。工程结论： 必须做到 ，同时 与计数器位宽要匹配；论文示例宣称的 59.04 dB 需要 ，也就是完全不同的 / 组合（论文未给该例参数，本文如实给出差异，见 §7）。

5. 全模型与灵敏度

把 §3 的 PDN 纹波（8 个谐波）+ §4 的六类非理想因素一起打开，做 16 次集平均（噪声随机、纹波确定），得到：

逐谐波灵敏度（等效输入噪声按 折算）：

灵敏度换算（这是纹波监测最该关心的指标）：

本文全模型下：100 MHz 带内平均 44.5 µV/bin，而 5 MHz 带内只有 2.03 µV/bin——同一套硬件，靠一阶整形在低频端把灵敏度提高了约 22 倍。这解释了为什么 PSN 监测通常把主带宽压在 DC 到几 MHz，而只把 FFT 的"观察窗"开到覆盖 。

一个必须说清的口径问题：如果你把"8 个纹波谐波功率之和"除以"整带（0–100 MHz）除谐波外的全部功率"，会得到 −18 dB 这种看起来很糟的数字。这不是有效指标，因为 ① 纹波谐波本身就是被测的"信号"（不是杂散），② 整带功率里含大量 fractional-N 杂散谱线（离散谱线，不能当连续噪声底）。正确的做法是逐 bin 判 SNR（上表）或给等效输入噪声——这也是我在建模过程中被"负 SNR"误导了一轮之后才想明白的事。

6. 让"频谱 = 理论"的六条工程准则 + 验证表

如果你的目标是"仿真频谱与闭式理论逐 bin 数值精确对应"（而不是"趋势差不多"），下面六条基本是充分必要的：

1. 一切频率取整数 bin（相干采样）。 全部写成 。否则 FFT 泄漏，逐 bin 对账无从谈起。这是唯一一条无法靠增加算力绕过的约束。
2. 用闭式解析积分，不用数值积分。 展成复指数逐项积分可得到 1e−16 级精度；而任何数值积分（梯形/cumtrapz）都会把相位误差累积到 1e−6~1e−3，直接毁掉 的目标。
3. 相位用"绝对相位 + floor"记账，不要"增量累加再量化"。前者让残留相位自然跨拍传递（一阶整形成立且可解析验证），后者会引入累积误差并破坏整形。
4. 非理想因素要选对注入点：失配、相位噪声走"残留相位"路径（因此被整形）；抖动走"窗口边界"路径（不被整形）；亚稳态走"计数"路径；非线性走"窗内积分"路径。注入点选错，频谱形状会完全不对（而且看起来"很像"有噪声，最难查）。
5. 验证分档容差：确定性项 1e−10（机器精度）、解析近似项 1e−2（如连续 vs 离散积分）、统计项 5e−2（蒙特卡洛）、模型近似项 1e−3（论文的线性化模型）。把所有项塞进同一个容差，结论必然失真。
6. 用标度律而不是单点验证： 残差应降到 1/4； 时 HD2 应涨 4 倍、HD3 涨 8 倍； 整数倍时 spur 位置应线性移动。标度律能证伪错误的结构，单点吻合不能。

完整验证清单（run_verify.py / verify_exact.m，19 项，节选）：

7. 论文勘误与三处口径陷阱

① eq.(3) 的直流项少了 。 论文印作 ，但积分对象是 ，应为 。若照抄，由 eq.(1) 得到的计数值 会差 倍（也就是相位差一整圈，复位计数器的输出会完全错位）。

② eq.(27)/(33) 给的是"双边 bin 功率"，不是单边幅度。 直接拿它当幅度用，所有谐波/spur 幅度会差 2 倍（6 dB）。本文所有公式都显式做了单/双边换算。

③ eq.(37)+(41) 的示例不自洽。 按 与 eq.(40) 反解，要得到论文示例的 59.04 dB 需要 ——而该公式在本组 64 相参数下给出 （详见 §4.6）。论文未给该例的 ，本文按公式原样计算并如实给出 39.5 dB 的差异，而不是"调参凑数"。